绝对值三角不等式定理取等绝对值三角不等式定理又称三角不等式，是指对于任意三个实数x、y、z，都有：$$|x+y|≤|x|+|y|$$$$|x-y|≥||x|-|y||$$等号成立的条件：当且仅当x,y同号时，$|x+y|=|x|+|y|$.当且仅当x,y异号且$|x|≥|y|$时，$|x-y|=|x|-|y|$.证明：情形一：x,y同号当x,y均为正实数时，$|x+y|=x+y$,$|x|+|y|=x+y$,显然$|x+y|=|x|+|y|$.当x,y均为负实数时，$|x+y|=-x-y$,$|x|+|y|=-x-y$,显然$|x+y|=|x|+|y|$.情形二：x,y异号且$|x|≥|y|$令$x=a,y=-,(a≥≥0)$,则$$|x+y|=|a+(-)|=|a-|$$$$|x|+|y|=|a|+|-|=a+$$此时$$|x-y|=|a-(-)|=|a+|=a+=|x|+|y|$$反证法证明：假设存在实数x,y使得$|x+y|gt|x|+|y|$,则$$|x+y|-|x|-|y|gt0$$$$|x+y|+|x+y|gt|x|+|x|+|y|+|y|$$$$2|x+y|gt2(|x|+|y|)$$$$|x+y|gt|x|+|y|$$这与绝对值三角不等式矛盾，因此假设不成立，即对于任意实数x,y，都有$|x+y|≤|x|+|y|$.同理，可以证明对于任意实数x,y，都有$|x-y|≥||x|-|y||$.绝对值三角不等式定理取等在数学中有着广泛的应用，例如：在几何学中，绝对值三角不等式定理用于证明三角形三边之和大于等于两边之差。在物理学中，绝对值三角不等式定理用于证明功的计算公式。在经济学中，绝对值三角不等式定理用于证明消费者效用函数的凸性。在工程学中，绝对值三角不等式定理用于分析电气电路。...

2023-12-21 绝对值三角不等式是什么 绝对值三角不等式推导过程

图书名称：《一元次方程破解》【作者】石泉，郑良飞著【丛书名】数学难题解难【页数】106【出版社】北京：国防工业出版社,2014.11【ISBN号】978-7-118-09764-1【价格】42.00【分类】一元方程-高次方程-方程解【参考文献】石泉，郑良飞著.一元次方程破解.北京：国防工业出版社,2014.11.图书封面：图书目录：《一元次方程破解》内容提要：本书介绍一元次方程破解问题。《一元次方程破解》内容试读第1章方程每项根与系数关系的结构.1一元2~10、次方程每项根与系数关系的结构（实根）一、一元2次方程x2+(x1+x2)x+x1x2=0(x2+a2x+e2=0,e2=x1x2≠0)根的范围：x1.2≤e2,x1.2≤(a2÷2)二、一元3次方程x3+(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x)x+x1x2x3=0(x3+a3x2+3x+e3=0,e=x·x2x3≠0)根的范围：x,≤g,x≤√，x,≤(@÷2)，x≤(a÷3),(i=1,2,3)三、一元4次方程x+(x+名2+为+x）x+(名名+1x3+x1x4+23+x2x4+名3x4)x2+(x1x2名+x++x)x+xx=0(x+ax+x+cax+ea=0,ea=x0)根的范围：x,≤e4,x,≤e4,x,≤e4,x,≤(a4÷3),x≤(a4÷4),x,≤(a4÷5),(i=1,2,3,4)四、一元5次方程x3+[(x1+x2+x3+x4+x5(=a5)]x+（x1x2+x1x3+x1x4+x1x5+x23+x2x4+x2x5+x3x4+x1x5+x4x5)x+（x1x2x3+x1x24+x12x5+x1x3x4+x1x35+x1x4x5+x2无34+x2x3x5+32x4x5+x34x5）x2+(x12x3x4+xx2x3x5+x1xx4x5+x1x3x4x5+x23x4x5）x+x1x2xx4x5=0（x1x2x3x4x5=e5≠0)(x3+a5x+x3+c5x2+dx+e5=0,e50)根的范围：x,≤e,x,≤e,xg,x,≤e,,≤(a5÷3或÷4或÷5或÷6)，(i=1,2.3,4,5)五、一元6次方程x+(x+名2+名+x4+5+6)x3+(x南+名西+x14+x1名+x6+为十x24+x5+x6+x4+xx5+无6+45+x6+x56）x+(123+x124+x名35+名名26+x1x34+xxx++x++xxxxxxxx+x2xx6+x2x4x5+xxx6+x2xx6+x45+x3x4x6+名3x56+无45x6)x3+(x1x2x34+x23西5+名x236+无1x24x5+x246+1xx2x6xxxx4x5x2xxx+x2xx+xxx6+x2xxx6+x3x4x6)x2+(名1x2x345+x1名23x46+x1x23x56+x1x24x56+名1x3x4x56+xx34x6）x+X1X2X3x4x5%6=0(x+ax+x+cox+dox'+eox+f=06=xx2x3xaxx60)根的范围：x,≤，x,≤，x,≤，x,≤，x,≤(6÷4)，x,≤(a6÷5),x,≤(a6÷6),x:≤(a6÷7)六、一元7次方程x-ax+x-cx+dx-ex2+fx-g=0(g70)(1)x-(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x)x°+（x12+xx3+x1x4+x1x5+x1x6+x七7+x2x3+x2七4+2+x26+2七7+34+x3x5+36+x3x7+x4x5+46+4x)+x5无6+x5x]+x6名）x3(x1x2x3+x1x2x4+x1x2X5+x1x2x6+名1x2X7+x1x3x4+x1x3x5+X1x3x6+x1x37+x1x4x5+x1x46++6++x2x3+x2x3x+x+xx+Xx2x5x6+x2x5x7+x2x6x7+x3x4x5+x3x4x6+x3x4x+x3x5x6+x3x5x7+x3x6x7+xx5x6+x4x5x7+x46名十x56）x+(x1x2出34+无x235+x126+x123+无2x45+x1名246+无x24名7+xx2x5x6x2xx2x6xxxxxx6xxxxxxxxXx4x5x6xxx6x7xxxxxxx2xxxxx6x2xxxxxxxxxxx4xx6x）x3-（x1x2x3x4x+名1x2x34x6+x1名2x3x4名7+名123x6+x1x23x57+x1x23x6+12x4七5x6+1x2x45x7+x1x2x4x6x7+x12x3x6x7+x1x3x4x5X6+x1x3x4x57+七1x34x67+xx3x6X7xx5x6X7+x2x3x4x5x6+x2x3xxx2x3xx6X+x2x3x5x6x7+x2x4x5X6X7+x34x56x）x2+（x12x3x4x5x6+x1x2x3x4x5x7+x1x2x3x4x6+无1x2x3x5x6x7+x1x2x4x5x6x1+xx34x5x6x7+x2x34x5x6)x-x12x3x4x567=0（(x12x34x5x6≠0)(2)七、一元8次方程x8-(（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+xg)x+（x1花2+xx3+x14+1x5+x1x6+x1七)+x1x8+x2x3+x2x4+x2t5+x2x6+x2x7+x2x8+x3x4+x3x5+x3x6+x3x7+x3x8+x4x5+x4x6+x4x7+x4x8+x5x6+x5,+58+x6x7+x6g+x7xg）x5-(无1x23+x1x2x4+名1x25+x1x2x6+xx2x2x8xx5xx3xxx8xx4x5xxxx8+xx5x6+x1x5x7+x1x5x8+x1x6x7+x1x6X8+x1xx8+x2x3x4+x2x3x5+x2x3x6+x2x3x7+x2x3x8+x2x4x5x6xxx2x4x8+x2xx6x2xxx2xxx8x2xx8xx4x5+x3x4x6+x3x4x7+x3x4x8+x3xx6+x3xx7+x3xx8+x3x6x7+x3x6x8+xx7x8+x4xx6+x4x5x7+xxgxxx+xxx8+xxxx)x+XX2xx2Xx8xxxxX6xxxxxxx2xx1x2x58+七1*2x67+x12x6xg+x1x2xxg+x1x3x4x5+x1x3x4x6+x1x3x4x7+x1x3x4X8+x1x3x5x6+xxxxxxxxx3xxxxxxxxxxxaxxxx6x7xX4X6x8xxx6xxxx6x8xxxxx6x7x8x2xx4xxxx6x2xx2x3x4x8+2*356十2x35x7十2*3x5g+23x6x7+七23x6x8+x23x7xg+x245x6+x2x4x5x7+x2x4x58+x24x6x7+七2x4x6x8+七2x4xxg+x2x567+x2x5x6g+x2七5七xg+x2X6七xg+x3x45X6+x3xxxxxxgxxxxx68xxxxxxxx8xxxxx+2x4x5x67+x4x5x6xg+x4x57xg+x4x6xxg+x5x6Xg）x-（(x1x2x3x4x5+x1x2x3x46+x1x2x3x4x7+xx6xxx2xx8xx2xx2x68+XX2Xxx6+x2xx++xx2Xx6X+2x+xx2x5x6X7+xxxx6x8+xxx5xx8+xxx6x7x8+xxxx5x6+xx3x4x5x7+xxx4x5x8+xx3x4x6x7+xxx4x6x8+xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx6xxxxxxxX4X6xxxxxxx+xxxxxxx+xxxxxxx+x2Xxxx8+x2X3xx6x+xx3xx6X8+xxxxxx36xx+xxxx6X+x2xxx6X8+xxxxx8+xx4x6xx+名6+名4名+为464+名名名十x346+名3名5x6名7名+x出68）x2+(xxxxxx6+xxxxxxxxxxxxxx4X6x+xxxxxx2xx5X6Xxxxxx6x8xxxX2Xx6xxxxx6x8xx2xxxx8xxxx6xx8xxxX6xx8xxxxx6Xxxxx6x8xxxxxxxxx6xx8xxxx6xx8xxx6xx846+24568+3x4tg+x246Xg+无356名7g+2无4x3+无35xxg）x-(xX2Xxxx2x3xx6xxX6xxx3x6x2xxxxoxx8)x+x6xx=0（x1x2x3x4x5x6x7xg≠0)(1)八、一元9次方程x-agx+ox'-cox+dox-eox+fx-gox2+hox-io=0(i0)(1)x°-(123456789)x8+(121314151617181923242526272829343536373839454647484956575859676869787989)x-(123124125126127128129134135136137138139145146147148149156157158159167168169178179189234235236237238239245246247248249256257258259267268269278279289345346347348349356357358359367368369378379389456457458459467468469478479489567568569578579589678679689789)x6+(12341235123612371238123912451246124712481249125612571258-1259126712681269127812791289134513461347134813491135613571358135913671368136913781379138914561457,145814591467146814691478147914891567156815691578157915891678167916891789-2345234623472348234923562357:2358235923672368236923782379238924562457245824592467246824692478247924892567125682569257825792589267826792689278934563457345834593467346834693478347934893567356835693578357935893678367936893789456745684569457845794589467846794689478956785679568957896789)x3-(12345123461234712348123491235612357123581235912367123681236912378123791238912456124571245812459124671246812469124781247936EZI8EZILEZI9EZISEZIEZI]+x[O1(686L8L6989L96S8SLS96t8tLt9tSt6E8ELE9ESEE678zLZ9zS7忆￡乙6I8ILI9ISItIEIZ1)+(68L6896L98968S6L699895L9S68t6Lt8Lt69t89tL9t6St8tLt9t68E6LE8LE69989L9C6S8SELSE9SE6tf8tLte9tfte6876L乙8LZ69元89zL9z6787L79S76tz87L忆9tzSz6EZ8E7LEZ6LI8L169[891L9I6SI8SILSI9SI618tIEL6乙L8乙LL乙L9ZL乙L乙EZI][OI(68L9StEI)+686L8L6989L96S8SLS96t8tLt9tSt6E8ELE9ESEVE6Z87LZ9ZSttZEZ6I81LI9ISItIEIZI]+x(OI68L9tEZI)-ox(I)(0≠0f)0=0f+2x?-x0y+x0分-，xf+,x03-gxl+x0-gx0q+6x0lD-ox盘4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2023-11-09 epub破解 epubbuilder破解

截止到明晚8点...

2022-12-28

在中学数学的学习旅途中，代数和几何是两条最宽阔、最美丽的道路。与需要复杂证明的几何相比，代数更有利于培养学生的抽象思维和细致的计算能力。同时，小学的计算基础也意味着学生更容易上手代数。第1-8讲方程部分，主要介绍不同类型的方程及其解。涵盖了分数方程、二（三）变量二次方程、一变量二次方程等，还可以领略到【代入法】的核心代数思想。当然，单纯的方程式计算很繁琐，但罗教授的选题会让你耳目一新。梨子题、年龄题、篮球题都是课本上很少见的有趣题型。同时，这些课程还包含了更高层次的数学知识和思想。比如猜谜课，本质上就是高中的周期函数题。不过不用担心，高中知识很容易就可以学会！第9-11讲代数部分主要介绍了初中学过的几个公式：平方差公式、完全平方公式、完全三次公式。虽然是你将要学习或已经在课堂上学到的知识，但罗教授的讲解一定会让你对公式有不一样的理解，生硬的公式仿佛活了过来。以后你上了高中，你会发现第10讲的内容还是很有帮助的——这节课讲到的阳辉三角，在高中学习二项式定理的时候非常重要。初中方程与代数共十一节课...

2022-12-27 代数方程是什么意思 代数方程式解法

[乐学]柯西不等式秒解高考题，全网首发，绝对实用...

2022-12-16

恭喜你马上就要面临高考了！网课王羽老师放大招了，物理教程已经发布了！学习重要，选对老师更重要~方程技巧口诀都有哦！一、多学习、多观察、多思考其实高中物理讲的就是一些自然界当中事物的定理,这些在我们身边还有很多事物都蕴含这这些真理,生活处处都有物理,就比如说我们每次坐车,我们看外面的世界就可以看见这些车子外面的东西都在向后走,这就是我们高中物理当中的参照物,这个知识点,生活到处都存在知识,你要用心去体会.只要我们长一颗发现的眼睛,你一定要多看看你的生活当中会有很多的现象,不管是自然的还是生活的,你还要多看看夜晚的星星,看看他的变化,你还会发现物理当中发光、发热以及一些定律问题.这些知识在我们的生活当中还是处处存在的.二、学会从定理入手对于一些定理还有就是一些死概念还有的一些规律你们都要高度重视,但是你不光时要记住这些知识,你要学会该怎样利用起来,这才是关键,聪明的孩子是利用这些公式然后应用到自己的错题当中,从中找到问题的所在,你还要做到从一个小小的错题,就可以复习到很多知识,真是双丰收,这也是学生学习高中物理能不能开窍的关键.物理也是一门很重要的课程，分数占比很高，所以想考一个好的大学，物理一定不能拖后腿！每个老师都有自己的特点，看看王羽适不适合你~...

2022-12-16 王羽网课怎么样 王羽网课

高一上册的知识点，同步教案函数方程三角函数平面向量指数函数等内容都非常的有深度，上课要好好听，下课好好做题~数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。首先我们分析高中数学的特点：(1)教材内容方面：高中数学教材，较多研究的是变量和集合，不但注重定量计算，且需作定性研究。一句话：内容多，抽象性、理论性强。(2)教学方法方面：高中教师在处理高中教材时却没有充裕的时间去反复强调教材内容，他们在教学中，不仅要对教材中的概念、公式、定理和法则加以认真讲解，还要重视学生各种能力的培养，对习惯于依样画葫芦缺乏举一反三能力的高一学生，显然无法接受。(3)学习方法方面：进入高中后，则要求学生勤于思考、勇于钻研、善于触类旁通、举一反三、归纳探索规律。(4)课程要求方面：由于高中数学内容难度增大，数学知识的应用增加，要求学生会使用文字、符号和图形等数学语言表达问题进行交流，对能力提出更高的要求。鉴于上述特点，我有一种非常强烈的愿望，希望通过我对数学的感受，能够引领高一学生走出数学学习的低谷，从而翻开数学学习全新的一页。因此，我有些方法建议，送给所有喜欢数学的学生。啥都可以马虎，但是学习不能马虎，你要知道所有的知识都是慢慢积累的，不是一下子涌到你的脑子里的！加油学习吧！...

2022-12-14 函数方程 平面向量怎么求 平面向量的方程

此课件来自学而思网校，小学数学应用题-多元一次方程组和分数系数方程及列方程解应用题（五年级）。多元方程组怎么解,解多元一次方程的基本原则就是消元,即逐步的消去求知数,然后把它变成简单方程来解就是了。多元一次的方程组,一定要有多个才能有解,否则是无解或无穷多解的。截图202203011103136917.g(13.05KB,下载次数:9)下载附件保存到相册[百度云网盘]学而思小学数学多元一次方程组和分数系数方程及列方程解应用题（五年级）...2022-3-111:03上传...

2022-12-11 解应用题方程组 方程组的应用解题过程

此课件来自高考数学建哥指针数学之不等式知识点专题讲解，不等式是高考的重要内容之一，高考必考，它所考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等.命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破。截图202203041611033397.g(38.51KB,下载次数:4)下载附件保存到相册[百度云网盘]高考数学建哥指针数学之不等式知识点专题讲解2022-3-416:11上传...

2022-12-11 指针不能进行的运算

此课件来自刁哥数学秒杀干货14次让你彻底搞定一切不等式专题课，在高考中不等式虽说很少单独出现一个大题，但是选填中还是经常遇到的，比如线性规划问题，均值定理问题等，而且均值定理还会时常和其他知识点穿插进行；尤其在线性规划这一块还有时常用到几何概念或意义。截图202203071541005921.g(34.8KB,下载次数:7)下载附件保存到相册[百度云网盘]刁哥数学秒杀干货14次让你彻底搞定一切不等式专题课2022-3-715:41上传...

2022-12-11 数学不等式基本公式 数学不等式解题技巧

此课件来自美国奥数队总教练罗博深数学思维课（方程与代数），本系列代数课程主要分为方程和代数式两大板块。第1-8讲：方程板块，主要介绍不同类型的方程及其解法。其涵盖了分式方程、二（三）元一次方程组、一元二次方程等内容，并且你还可以领略到【换元法】这一代数核心思想。截图202203261034301211.g(22.26KB,下载次数:6)下载附件保存到相册[百度云网盘]美国奥数队总教练罗博深数学思维课（方程与代数）2022-3-2610:34上传...

2022-12-11 罗博深 代数与无穷数计算 罗博深数学

2018殷方展高中数学最强不等式视频讲解课程简介:2018殷方展高中数学最强不等式视频讲解（高考内容全覆盖）课程目录：001分式不等式的所有解法.flv002均值不等式中1的妙用.flv003和为定值，积有最大值.flv004变相的积为定值.flv005和与积共存，求和或积的范围.flv006两次用均值.flv007线性规划之变态可行域.flv008线性规划之妖怪截距问题.flv009线性规划之最优解唯一和最优解无数问题.flv010线性规划之斜率问题.flv011线性规划之距离问题.flv...

2022-12-09 线性规划高中数学知识点 线性规划高中数学必修几

数学之圆锥曲线与方程全16讲“圆锥曲线是什么，能吃么？”★圆锥曲线是重点★“圆锥曲线”是高中知识的重中之重，这是教师和学生公认的事实。解析几何把“几何”和“代数”这两大初等数学领域进行了统一，能用解析方法解决好圆锥曲线问题，是学生几何代数综合能力的体现，也是高中教学环节中的首要重点。★圆锥曲线是难点★“圆锥曲线”难，难于上青天，这是很多学生学过之后的感概。圆锥曲线难在学生既要有好的几何知识作为基础，又要有好的运算能力作为保障，还要在解题过程中思路清晰。很多能力不够全面的同学面对题目往往感到“不明觉厉”，而在别的版块学的不错的同学，也不能保证解析几何题总是会做。★圆锥曲线是核心考点★“圆锥曲线”不光是高考必考点，而且往往被各省放在倒数第1、2题的位置上。对于大多数考生来说，能否在这道题上多拿分，成了中档生和优秀生的一个重要分水岭。更有人这样评价“拿解析者拿天下”，对于竞争激烈的高考而言，并非虚言。高考必考的内容，就是学生要必会的内容。★圆锥曲线是易错点★“圆锥曲线”这道题的易错程度，远远高于其他题目。解析几何中的圆锥曲线在高中以计算量大、出错率高而闻名。单是含参分式的大量运算，就让很多同学败下阵来。除了基础的运算错误以外，不能正确的把握题目中的几何条件和几何关系，也是很多同学无法把题目做对的重要原因。★本课程文理科均适用★圆锥曲线这部分内容对文理科学生的要求很相近，只是在最后试卷考察的时候，文科题往往难度略低。但是在学习过程中，需要掌握的知识、方法、技巧和解题思想都是没有区别的。因此，这个课程对于文科学生和理科学生都是适用的。第1讲：椭圆的定义与方程第2讲：椭圆的图像与性质第3讲：双曲线的定义与方程第4讲：双曲线的图像与性质第5讲：抛物线的定义与方程第6讲：抛物线的图像与性质第7讲：圆锥曲线典型小题（一）基本量与离心率第8讲：圆锥曲线典型小题（二）几何性质第9讲：直线与圆锥曲线（一）位置关系第10讲：直线与圆锥曲线（二）联立与韦达定理第11讲：直线与圆锥曲线（三）弦长问题第12讲：直线与圆锥曲线（四）面积问题第13讲：直线与圆锥曲线（五）对称与中垂线第14讲：直线与圆锥曲线（六）向量一内积第15讲：直线与圆锥曲线（七）向量二和、共线第16讲：直线与圆锥曲线（八）其他...

2022-12-09 圆锥曲线直线方程的设法 圆锥曲线直线过定点问题求法与设法

方程专题名师讲座全套第01讲-奥数方程专题：解简易方程强化篇第02讲-奥数方程专题：列简易方程解应用题强化篇第03讲-奥数方程专题：解整数系数一元一次方程强化篇第04讲-奥数方程专题：列一元一次方程解应用题强化篇第05讲-奥数方程专题：多元一次方程组及列方程组解应用题强化篇第06讲-奥数方程专题：分数系数方程及列方程解应用题强化篇第07讲-奥数方程专题：解简易方程竞赛篇第08讲-奥数方程专题：列简易方程解应用题竞赛篇第09讲-奥数方程专题：解整数系数一元一次方程竞赛篇第10讲-奥数方程专题：列一元一次方程解应用题竞赛篇第11讲-奥数方程专题：多元一次方程组及列方程组解应用题竞赛篇第12讲-奥数方程专题：分数系数方程及列方程解应用题竞赛篇...

2022-12-09 方程简易方程题 方程简易方程思维导图

图书名称：《三角不等式研究与欣赏》【作者】邓寿才著【页数】474【出版社】哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2020.10【ISBN号】978-7-5603-9033-8【分类】三角-不等式-研究【参考文献】邓寿才著.三角不等式研究与欣赏.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2020.10.图书封面：图书目录：《三角不等式研究与欣赏》内容提要：本书共分3章，即预备知识、三角不等式、名题欣赏与研究，详细介绍了各种类型的三角不等式，并对这些常见不等式进行了推广与拓展，同时还介绍了研究三角不等式的常用方法，最后还设置了三角不等式名题欣赏与研究部分。本书中列举的各个习题都给出了详细的解法和分析，且有的题目给出了多种解法，并从多个角度进行拓展，使读者开拓眼界，对三角函数有一个更深入的了解，便于更好地掌握相关知识。本书适合高中师生、大学师生及广大数学爱好者研读。《三角不等式研究与欣赏》内容试读预备知识在工作或劳动时，我们通常需要劳动工具.同样，在证明研究、创建三角不等式和几何不等式时，我们通常需要一系列相关的定理、公式，才能让我们在解答试题和研究中如鱼得水、轻松自然。第第1节三角恒等式1.加法公式i(ax±B)=iacoB±coaiBta(a±B)=1千taataBtaa±taBco(a±β)=coacoB千iaiBi'aco'a=1,taacota=12.和差与积互化公式章ia+iB=2iBco22ia-iB=2coia-2coa+coB=2co+BcoB22a-mB=-2a生“9taa±taB=i(a±B)coacoBcota±cotB=±i(a±B)iaiBiaiB=co(B)co(+)]1coacoB=(a+B)+(a-B)]icBi()+i(B)]coaiBi()i()3.倍角公式i2a=2iacoa=2taa1+ta'aco2acoai'a=2co2a-1=1-2i2a1-ta'a1ta'a2taata2a=1-ta'acot'a-1cot2a=2cotai3a=-4i'a+3iaco3a=4co'a-3coa4.半角公式（下列公式中根号前所取符号与等号左边符号一致）i21-coa2ac052三N1coa2=±/1coa1-coaiata21+coaia1+coacota1+coa1+coaia21-coaia1-coa5.配方公式1士血a=(ow受±受Pta'a+cot'a=(taa±cota)2千26.降幂公式i'a=7(1-c02a）)co'a=21(1+co2a)三角不等式研究与欣赏2ReearchadAreciatioofTriagleIequalityi'a=1(3ia-i3a)4coa4(3coa+co3a)7.正弦定理与余弦定理aCiAiBiCa2=2+c2-2ccoA2=c2+a2-2cacoBc2=a2+2-2acoC8.△ABC的角间关系式在△ABC中，从A+B+C=T出发，运用和积互化公式、倍角公式和各种技巧，能推证出三角形内角之间的近百个恒等式或不等式来，以下为几例iA+iB+iC=4cococoi2Ai2Bi2C=4iAiBiC3A3B3Ci3A+i3B+i3C=-4co2co2co2i4Ai4B+i4C=-4i2Ai2Bi2C一般地，有推广结论：定理1设k∈N,在△ABC中，有ikAikBikC4ikπkAkBkC2(当k=4±1时)(当k=4-1±1时)如果我们设k=r(mod4),其中r∈{0,1,2,3}，并记4):14(产mg+（受212g-Ⅱ·号刳那么上述三角公式可统一成∑ikA=4(-1)'-f(k,r)·g(k,r)(1)》相应地，有cooiC2i2co2Aco2B+co2C=-1-4coAcoBcoCco3A+co3B+co3C=1-4iii-i22co4Aco4Bco4C=-1+4co2Aco2Bco2C3一般地，有：定理2设k∈N,在△ABC中，有cokAcokBcokC【1+4ii2ii92i2i2(当k=4±1时)-1-4cokkAkBkC2co2co2co2(当k=4-1±1时)仍然设k=r(mod4),r∈{0,1,2,3=Πm+.罗-剑22则上述公式可统一成∑cokA=(-1)-1[1+41(k,)](2)有趣的是，由公式-1-4coAcoBcoCco2Aco2Bco2C=2(co2A+co2B+co2C)-3co2A+co2B+co2C+2coAcoBcoC=1相应地，还有三角公式和相关定理，它们在不等式证明中有重要的应用taAtaB+taC=taAtaBtaCm号+m号m号+mmtaA=1AABCcotB+cotG-cot2cot2cot2cotcotAcotB+coBcotC+cotCcotA=1现在我们来证明定理1.定理2同理可证，故略。证明(1)当k=4±1(r=1或3)时ikAikB+ikC=2ikA+kB)ikC=±22m±（受✉4，ikC=±2c02co/kCkC22kC(kAkB=±2c02co2+cokA+kB2kCkAkB=±4c0=4i22co2三角不等式研究与欣赏4ReearchadAreciatioofTriagleIequality(2)当k=4-1±1(r=0或2)时，同理可得ikAikBikCkπ:kAkB:kC=-4co2i2'i2i2此外，仍设∈N,则有tam(-0）=(-1)-.(cot0)--=(-1)-1·(am0)-如果设∈N,,且=r(mod4),则有Σ(m1(-1)-1=1(3)自然，式(3)是一个有趣的公式，但是必须满足A,B,C≠2m或(2k±1)π，其中k∈N,,否则式(3)无意义，此外，还有其他公式i3a=3ia-4i'a=4i(号-a)iai号+aco3a=4co'a-3coa=4coacoarco+ata3a=tataata+ai2a-i'B=i(a+B)i(a-B)co'a-co'B=-i(a+B)i(a-B)aix+6cg=v合+8m(x+0),其中tm0=名(a0)9.特殊三角公式iA+iB-iC=4iAiBC2i2co2i2Ai2B-i2C=4coAcoBiComA+mB-0C-1+4m号=g号co2Aco2B-co2C=1-4iAiBiCi2Ai2B+i'C=2+2coAcoBcoCiA+iB+i'C3A3B3C=3cocoBcoC+co3co3coco2Aco2B+co2C=1-2coAcoBcoCcoAcoB+coC53A:3B.3C2i2ACi22Ai22Bi22C=2-2co2Aco2Bco2C下述等式供大家练习：(1)(a+)coC+(+c)coA+(c+a)coB=2.在△ABC中，为△ABC的半周长，即=(a+6+c),面积为4（或S).外接圆半径为R,内切圆半径为(2)a(2+c2)coA+(c2+a2)coB+c(a2+2)coC=3ac.(3)4co+aoaw号+e）=(a++o月(5)(ac)2(i2Ai2B+i2C)=3243.(6)ta2ta+taCI+iii。ABCABC(8)cotkAcotkB+cotkBcotkC+cotkCcotkA=l(其中k∈N,).(9)(taA+taB+taC)(cotA+cotB+cotC)=1+ecAecBecC.(10)coAcoB+coBcoC+coCcoA=4R4R(11)coAcoBcoC=-(2+r)4R2(12)cOA+co'B+coC=6R++4Rr-2R2(13)(2-c2)cotA+(c2-a2)cotB+(a2-62)cotC=0.(14)(iA+iB+iC)(cotAcotB+cotC)=++e)品++动(15)coA+coB+coC=1+RAB.Cri2i2i2=4R三角不等式研究与欣赏6···试读结束···...

2022-10-12 三角不等式 三角形不等式 三角不等式三角函数